Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Obtén la inversa de $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

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Paso 1.1

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 1.2

Obtén el determinante.

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Paso 1.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

Paso 1.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Paso 1.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Paso 1.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

Paso 1.2.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

Paso 1.2.2.1.2.2

Factoriza $5$ de $10$ .

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

Paso 1.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Paso 1.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$4 - 3 \cdot 2$

Paso 1.2.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$4 - 6$

Paso 1.2.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$- 2$

Paso 1.3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 1.4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Paso 1.6

Multiplica $- \frac{1}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 1.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.2.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.4

Multiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ .

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.4.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Paso 1.7.5.2

Factoriza $2$ de $32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

Paso 1.7.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

Paso 1.7.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

Paso 1.7.6

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica ambos lados por la inversa de $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Multiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

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Paso 3.1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $2 \times 2$ y la segunda matriz es $2 \times 2$ .

Paso 3.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Paso 3.1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplicar una matriz de identidades por cualquier matriz $A$ es la matriz $A$ en sí misma.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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Paso 3.3.1

Paso 3.3.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$